Вычеркни цифру. Убери из каждого слагаемого две цифры, чтобы получилась самая большая сумма. Все шесть вычеркнутых цифр должны быть разными.
В основном туре олимпиады по математике для 10-11 классов (с 2 февраля по 23 февраля 2021г) задание "Вычеркни цифру" стало значительно интереснее и сложнее, если сравнивать с этим же заданием в пробном туре (с 12 января по 1 февраля 2021г).
В ПРОБНОМ туре требовалось убрать из каждого из трёх слагаемых любые две цифры, чтобы получилась самая большая сумма. Т.е. надо было сделать так, чтобы каждое слагаемое получилось максимально возможным из предлагаемого набора цифр расположенных в определенном порядке.
Рассмотрим данное задание.
Возьмём цифры первого слагаемого - 63051. После вычеркивания 2-х цифр останется 3-и цифры, т.е. число будет трёхзначным, содержащим сотни, десятки и единицы. Разряд сотен вносит наибольший вес в трёхзначное число, следующим по весу будет разряд десятков и наименьший вес имеет разряд (цифра) единиц.
Так как цифра сотен имеет наибольший вес в трёхзначном числе, то нам необходимо выбрать максимально возможную цифру. Это цифра 6. Для разряда десятков также выберем наибольшую цифру из предложенных. Это цифра 5. Для разряда единиц нам осталась только одна цифра, это 1. Цифру 3 мы взять не можем, так как в этом случае будет нарушен порядок расположения цифр. А порядок цифр менять нельзя. Таким образом, из цифр 63051 путём вычеркивания двух цифр мы получили максимально возможное число - 651.
Аналогично получаем из цифр 69185 максимально возможное число 985, а из цифр 55945 - число 945.
В итоге получаем следующие максимально возможные слагаемые 651 + 985 + 945:
Рассмотренное выше задание ПРОБНОГО тура довольно простое и трудностей, скорее всего, ни у кого не вызовет.
В аналогичном задании ОСНОВНОГО тура (с 2 февраля по 23 февраля 2021г) появилось дополнительное, очень ВАЖНОЕ УСЛОВИЕ - все шесть вычеркнутых цифр должны быть разными. Это условие существенно усложняет поставленную задачу. Отметим также, что в основном туре данное задание у каждого человека своё индивидуальное, а не одинаковое для всех. Поэтому нужно быть готовым самостоятельно решить задание.
Ниже рассмотрим последовательность решения задания основного тура.
Если выполнять задание основного тура по аналогии с пробным туром, то решение задачи будет неправильным. Выполняя как ранее, получим:
61605 + 31704 + 81017
При этом вычеркнутыми оказались цифры: 1, 0 (из первого слагаемого), 3, 1 (из второго слагаемого), 1, 0 (из третьего слагаемого). Таким образом, не выполнено условие задания о том, что все шесть вычеркнутых цифр должны быть разными.
Мы решаем данную задачу следующим образом.
- Выпишем для себя отдельно все десять цифр, из которых можно составлять числа:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2. В слагаемых из задания цифры 2 и 9 не используются, а используются следующие восемь цифр:
0 1 3 4 5 6 7 8
3. Из этих восьми цифр нам придется вычеркнуть шесть (по условию задачи). Какие именно? Будем определять. У нас должно остаться всего две невычеркнуые цифры. Это мало. Каждая цифра на вес золота. Нужно хорошо подумать, можно вычеркнуть ту или иную цифру, или нет.
4. Начнём с третьего слагаемого 81017, так как самая большая из используемых цифр 8 легко может стать в разряд сотен и будет вносить самый большой вес и в третье слагаемое, и в общую сумму. Итак, цифру 8 обязательно оставляем (81017).
5. Далее смотрим, где находится следующая самая большая используемая цифра. Это 7 во втором слагаемом. Очень хотелось бы получить из второго слагаемого семь сотен, а не три сотни или одну. Попробуем сделать так, во втором слагаемом оставим 704, а цифры 3 и 1 вычеркнем. 31704. Вычеркнутые цифры - разные. Это соответствует условию задачи. Не забываем отметить вычеркнутые из второго слагаемого цифры в нашем списке из восьми используемых цифр. В других слагаемых мы уже не сможем вычеркивать эти цифры.
0 1 3 4 5 6 7 8
6. Вернёмся к третьему слагаемому 81017. Теперь цифрой 7 мы легко можем "пожертвовать", так как в данном слагаемом она может оказаться "всего лишь" в разряде единиц. А мы сполна получили от этой цифры в разряде сотен во втором слагаемом. Также мы вычеркнем цифру 0 в третьем слагаемом , т.к. 811 больше чем 810, хотя большой разницы и нет. Итак из третьего слагаемого получим 81017. Вычеркнутые цифры - разные. И не совпадают с ранее вычеркнутыми. Это соответствует условию задачи. Не забываем отметить вычеркнутые из третьего слагаемого цифры в нашем списке из восьми используемых цифр. В других слагаемых мы уже не сможем вычеркивать эти цифры.
0 1 3 4 5 6 7 8
7. Осталось поработать с первым слагаемым 61605. Нам необходимо вычеркнуть две цифры. Для вычёркивания у нас остались цифры: 4, 5, 6 и 8. Очевидно, что мы сможем вычеркнуть из первого слагаемого только 5 и 6, так как 4 и 8 там нет. Сделаем это. После вычеркивания 5 и 6 у нас могут получиться следующие варианты: 61605 или 61605. 610 больше чем 160, поэтому остановимся на варианте 61605. Вычеркнутые цифры - разные. И не совпадают с ранее вычеркнутыми. Это соответствует условию задачи. В нашем ряду из восьми используемых цифр отметим все вычеркнутые цифры.
0 1 3 4 5 6 7 8
8. Проверяем соответствие решения условию задания. Все шесть вычеркнутых цифр разные. В каждом слагаемом вычеркнуто по две цифры. Полученная сумма 610 + 704 + 811 максимальная из возможных. ЗАДАНИЕ РЕШЕНО ПРАВИЛЬНО!
Ждём ваших вопросов по данному заданию. Для того чтобы написать на форуме необходимо предварительно зарегистрироваться.
Рассмотрим еще один вариант данной задачи. Задание решено правильно.
- Выпишем десять цифр, из которых можно составлять числа: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
- Вычеркнем неиспользуемые цифры: 0 1 2 3 4
56789 - Из оставшихся семи цифр нам придется вычеркнуть шесть (по условию задачи). У нас должна остаться всего одна не вычеркнутая цифра. Т.е. почти всё придется вычеркнуть. Каждая цифра на вес золота. Нужно хорошо подумать, что вычёркивать, а что нет.
- Из третьего слагаемого очень неплохо получить девять сотен, а не шесть. Поэтому попробуем так: 6 и 2 зачеркиваем, остается 962. (
62962). Не забываем отметить вычеркнутые цифры в нашем ряду: 0 123 456789 - Из первого слагаемого неплохо бы тоже выжать максимум возможного, например 931. Но цифрой 3 придётся пожертвовать здесь, т.к. она даёт небольшую прибавку (стоит в разряде десятков, а не сотен). А мы то помним, что почти каждую цифру из нашего ряда придётся вычеркнуть. Так что в первом слагаемом цифру 3 мы вычеркнем, чтобы во втором слагаемом мы смогли её оставить (для получения сотен). 92
301. А почему во втором слагаемом мы будем оставлять 3, а не 4? Потому что если мы постараемся сохранить 4, то придётся вычеркнуть 3 и 0 (2 то мы уже вычёркивали). И тогда в первом слагаемом нам придётся вычеркнуть 9 и 1. А 9 нам надо обязательно сохранить в первом слагаемом. Поэтому ради сохранения 9 в первом слагаемом мы во втором слагаемом пожертвуем цифрой 4. - Итак, в первом слагаемом вычеркнули 3 (92
301). Второй вычеркнутой цифрой станет 1. Почему 1, а не 0? Потому что если мы вычеркнем 0 в первом слагаемом, то во втором мы сможем вычеркнуть только 4, т.к. 3, 0 и 2 у нас уже будут вычеркнуты. Вот итог первого слагаемого 92301и нашего ряда по которому мы смотрим остатки цифр: 0123456789. - У нас для вычёркивания остались цифры 0 4 и 9. И нетронутое пока второе слагаемое: 43022. Мы здесь можем вычеркнуть 4 и 0. Сделаем это
43022. Осталось 322. - В итоге после вычеркивания шести разных цифр по две в каждом слагаемом мы получили: 920 + 322 + 962. Это будет максимальная сумма, удовлетворяющая условиям задания.
Объяснение получилось сумбурное конечно. Но как сделать понятней и лучше, мы пока не придумали. Надеемся разберётесь. Если нет, то регистрируйтесь и задавайте вопросы. Постараемся ответить.
Ещё одно задание. Решено верно. Попробуйте сначала решить самостоятельно, прежде чем смотреть ответ.
Ответ здесь:
- Выпишем десять цифр, из которых можно составлять числа: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
- Вычеркнем неиспользуемые цифры: 0 1
23 4 567 8 9 - Из оставшихся восьми цифр нам придется вычеркнуть шесть (по условию задачи). У нас должно остаться всего две не вычеркнутых цифры. Т.е. почти всё придется вычеркнуть. Каждая цифра на вес золота.
- Из третьего слагаемого постараемся получить максимум. 1 и 0 зачеркиваем, остается 590 (10590). Не забываем отметить вычеркнутые цифры в нашем ряду:
0123 4 567 8 9 - Единицу мы вычёркивать больше не можем. Значит во втором слагаемом двумя вычеркнутыми цифрами могут быть только 3 и 4 (1
3114). В ряду будут вычеркнуты:01234567 8 9. Остались 5 7 8 9. Две из них нам придётся вычеркнуть. - В первом слагаемом мы сможем вычеркнуть только 7 и 8 из оставшихся. 8 вычёркиваем - 7171
8. Если зачеркнём первую семёрку останется 171, если зачеркнём вторую - останется 711. Выбор очевиден, вычёркиваем вторую семёрку 71718. - В итоге после вычеркивания шести разных цифр по две в каждом слагаемом мы получили: 711 + 111 + 590. Это максимальная сумма, удовлетворяющая условиям задания.
Очередное задание. Выполнено правильно.
Ответ ниже:
- Выпишем десять цифр, из которых можно составлять числа: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
- Вычеркнем неиспользуемые цифры: 0 1 2
345678 9 - Из оставшихся семи цифр нам придется вычеркнуть шесть (по условию задачи). У нас должна остаться всего одна не вычеркнутая цифра. Т.е. почти всё придется вычеркнуть.
- Какую цифру мы обязательно должны оставить? Это 8. Почему не 9? Потому что 9, может находиться только в разряде единиц и не даст ощутимого прироста нашей сумме. А вот 8 может два раза оказаться в разряде сотен. Её мы точно обязаны сохранить и не вычёркивать.
- Итак, в первом слагаемом вычёркиваем 9 (8022
9). Не забываем вычеркнуть её и в нашем ряду: 0 1 23456789 - Так как мы решили, что обязательно должны сохранить 8, то все остальные цифры хотя бы по одному разу придется вычеркнуть. Потому что цифр для вычёркивания 7, а вычеркнуть надо 6. Поэтому цифры, которые встречаются всего лишь один раз, можем смело вычёркивать. (8022
9) (28021) (20624). Отмечаем в ряду: 0123456789 - С третьим слагаемым мы закончили - там вычеркнуты обе цифры. Осталось разобраться с первым и вторым слагаемыми. Вычёркивать теперь мы можем только 0 и 2.
- Во втором слагаемом вычеркнем первую двойку, чтобы получилось в итоге 802 (
28021). - В первом слагаемом осталось вычеркнуть 0 (8
0229). - В итоге после вычеркивания шести разных цифр, по две в каждом слагаемом мы получили: 822 + 802 + 202. Это максимальная сумма, удовлетворяющая условиям задания.