Цитата: Zavriki от 09.02.2021, 22:11

Нам очень нравится решать задачи на равновесие. Постараемся рассказать как мы это делаем.

Для начала немного теории. Рассмотрим следующую конструкцию, имеющую ось вращения (или ещё говорят - точку опоры).

Конструкция будет находиться в равновесии только если выполняется равенство:

d1*m1 = d2*m2

Плечо d1 в два раза больше плеча d2 (это видно по картинке). Мы можем принять длину плеча d2 за единицу (1), тогда плечо d1 будет равно двум (2). Формула равновесия примет вид:

2*m1 = m2

Таким образом, для того чтобы данная конструкция была в равновесии, масса груза m2 должна быть в 2 раза больше массы m1.

2*2 = 4

Равенство выполняется - конструкция находится в равновесии. Для лучшего понимания рассмотрим еще несколько примеров.

Далее рассмотрим более сложный случай равновесия конструкции. Когда на одной стороне от оси вращения грузики подвешены на разных расстояниях от этой самой оси. То есть тот случай, когда у каждой массы имеется своё плечо.

Каждая грузик создает свое вращающее усилие. И чем больше плечо, тем большее вращающее усилие создает грузик. Если грузики находятся по одну сторону от оси вращения (точки опоры), то их вращающие силы складываются. Формула равновесия приобретает следующий вид:

d1(1)*m1(1) +d1(2)*m1(2) = d2*m2

На картинке выше видно, что плечи d1(2) и d2 равны. Примем их за единицу. Плечо d1(1) в два раза больше, значит оно будет равно двум. Формула равновесия примет вид:

2*m1(1) + m1(2) = m2

2*1 + 2 = 4

Равенство выполняется - конструкция находится в равновесии. Для закрепления приведём ещё пару примеров.

Теперь, зная о всём, что мы разобрали выше, перейдём к решению задачи целиком. Рассмотрим задание "Равновесие" основного тура олимпиады Учи.ру по математике для 10 и 11 классов с 2 по 23 февраля 2021г.

Начнём с того, что грузик, без указания массы закрепленный слева сверху на конструкции, изображен для красоты или для того чтобы затруднить наши размышления. Его масса не указана и обращать на него внимания не нужно. Он не влияет на решение задания.

1. Масса всех грузиков: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 12 = 33.
2. Левое плечо равно 1, правое плечо равно 2. Значит слева от главной центральной оси вращения А должна быть масса 22, а справа - 11. 22 в два раза больше чем 11, а в сумме они дают 33. Это и есть масса всех грузиков.
3. Грузик массой 12 повесить на правую конструкцию с осью С мы не можем, т.к. масса там всего 11 должна быть. Значит он точно слева на конструкции с осью вращения В.
4. Займёмся левой малой конструкцией с осью В. Грузик с массой 12 в точку K повесить можно, но в сочетании с плечом длиной 2 вращающая сила будет 2*12 = 24. И уравновесить её будет сложно. Поэтому сразу попробуем грузик 12 повесить в точку L. До общей массы 22 на левой конструкции осталось набрать 10. Возможны следующие варианты:

• 1+2+3+4 (не подходит, т.к. останутся 5 и 6, а их уравновесить на правой конструкции невозможно)
• 1+4+5 (не подходит, т.к. останутся 2, 3 и 6, а их уравновесить на правой конструкции невозможно)
• 2+3+5
• 1+3+6
• 4+6 (не подходит, т.к. на левой конструкции с ними не добиться равновесия).

5. С грузиками 1, 3 и 6 (и 12 конечно) уравновесить левую конструкцию у нас не получилось. А вот с 2, 3 и 5 - легко.

6. Оставшиеся грузики 1, 4 и 6 также легко распределили на правой конструкции.

Надеемся наш разбор задания поможет вам в решении аналогичных задач. Задавайте вопросы, если что-то непонятно. Удачи!